一一五〇年前后,乌贾因天文台的灯常常亮到后半夜。台长婆什迦罗第二伏案推演行星位置,他嫌一昼夜太长,嫌一个时辰仍粗,于是把时间往下切,一直切到一个他命名的极小单位,译作特鲁提,据他说相当于一昼夜里极小极小的一格,小到常人无法感知。就在这近乎为零的一瞬里,他去量行星走过的距离,这便是瞬时速度的雏形。他还写道,行星运行到最远或最近处,那一瞬间的变化量归于零。今天学过微分的人会认出,这已是无穷小思想的先声。
婆什迦罗第二约生于一一一四年,卒于一一八五年前后,是十二世纪印度数学天文学的集大成者。他主持的乌贾因观象台是当时全印度的数学中心,从阿耶波多到婆罗摩笈多的学问,都汇到他案头。约三十六岁那年,他把毕生学问总成一部《天文之冠》,分算术、代数、行星运动、球面天算四部分。算术部分他取了个美丽的名字,《丽罗娃蒂》,意为妙人。书里的题目也带着俏皮:孔雀栖柱、蛇入洞口、荷花出水、利息滚存,全用诗体写成,学生琅琅上口,传抄了几百年。
关于这个书名,后来流传着一个极动人的故事。十六世纪末,莫卧儿宫廷的学者把《丽罗娃蒂》译成波斯文,在序言里说:丽罗娃蒂是婆什迦罗的爱女,占星推命算出她的婚期须在某日某刻,他在水盆里放一只漏杯计时,女儿好奇探头,衣上一颗珍珠掉进杯孔堵住水流,吉时就此错过,终身未嫁,父亲为安慰女儿,便以她的名字写了这部算书。故事很美,但波斯译本距原书已四百多年,连丽罗娃蒂究竟是他女儿还是妻子,史料都无定论,只能当附会一层来听。
真正硬的成就不需要故事加持。他给出负数乘除的符号法则,讨论了以零为除数时量的性质;他完善循环法解一类二次不定方程,最难的一例算出的整数解达九位、十位数之巨,同一类题难倒欧洲数学家要到十七世纪。不过分寸要说清:他并没有比牛顿和莱布尼茨早发明微积分,那是近代民族主义科学史的夸张。他有相当于无穷小与微分的初步思想,知道极值处变化量消失,却没有建立极限理论,也未意识到这些技巧的普遍意义;系统的微积分,仍要等到五百多年后的欧洲。后来喀拉拉学派沿他的路子又走了很远。
他在书末老实写道:这部书是给初学者的捷径,也是给行家的消遣。一个把时间切到最细一格的人,对自己在历史中的位置,反而不着急。
❝在那近乎为零的一瞬,行星走过的路,与静止无别。❞