大德七年上元日，大都城寓居的一位算学家为新书写完最后几问，友人莫若、祖颐先后作序。书分三卷、二十四门、二百八十八问，从天元一问演到天地人物四元并立，这便是后世被科学史家称作中世纪最杰出数学著作之一的《四元玉鉴》。著者朱世杰，字汉卿，号松庭，人称燕山松庭先生。他的生平几乎只留在这两篇序里：莫若说他以数学名家周游湖海二十余年，四方来学者日众；祖颐说他周流四方，复游广陵，踵门求学的人云集。他的生卒没有确凿记载，学界据他交游与著书年代推算，约生于南宋淳祐九年前后，约卒于元延祐初年，终年约六十余岁。
此前四年，即大德三年，他已编就《算学启蒙》三卷，二十门、二百五十九问，从九九合数、斤两换算一路讲到天元一术与开方，是给初学者的阶梯。那以前，金末李冶在封龙山下以天元术解勾股容圆，南宋杨辉在临安详解九章、记下贾宪三角，北方的天元一与南方的日用算法各擅其长。朱世杰兼采南北，在这部启蒙书里把筹算的乘除捷法、正负术、垛积与招差理出一条由浅入深的路；书在中土久佚，靠朝鲜刻本保存，清道光年间罗士琳在琉璃厂书肆访得旧本重刻，才重回国人案头。
《四元玉鉴》真正的高峰是四元术。古法设一个未知数，称立天元一；平阳李德载的书兼立地元，霍山刘大鉴仅存人元二问，朱世杰演数有年，索性按天、地、人、物立成四元，以元气居中，把四个未知数的高次方程组排布在筹图之上，再经剔消、通分、内外行相乘三步层层消去，终归一式，以正负开方求其根。这种多元高次联立方程的系统消解法，在世界数学史上要等到四百余年后才由欧洲学者重新达到。他又以垛积术给出高阶等差级数的求和公式，以招差术列出四次等间距内插公式，授时历所用的平立定三差，在他手里被推广到更高一阶。书里还专设茭草形段、果垛叠藏诸门，把酒坛果物按层堆垛的日用算法推到一般公式，演段之图与筹式细草相为表里，读者循图即可验得其根。
清代罗士琳为他补演细草，赞叹汉卿在宋元间与秦九韶、李冶鼎足而三，却兼包众有、充类尽量，超越两家之上。乔治·萨顿在科学史里称他为贯穿古今的一位数学大家。书成之后，明清算学中绝，这部书沉寂数百年，连细草都散佚不全，正如他在卷首所告诫的，习四元者若不先明乘除升降进退之理，终难入其门庭。那个在燕山与广陵之间奔走讲学二十余年的人没有弟子名录传世，他留下的只有两部书，和一个把中国筹算推到绝顶、又在绝顶之后等了世界四百年的高度。
❝凡习四元者，以明理为务。❞